Forward probability

時刻$t$の時に $o_1,o_2,...,o_t$という観測系列を出力して、状 態$j$にいる確率を次のように定義する。

$$\alpha_t (j) = P(o_1,o_2,...,o_t,s_t = j \mid \lambda)$$ (2.9)

$P(O \mid \lambda)$は$\alpha_t (j)$の漸化式を次のように計算 することによって求めることができる。

このアルゴリズムでは、直前のフレームにおける確率 $\alpha_{t-1} (i)$ から$\alpha_t (j)$ $1 \leq j \leq N)$を求めている。

図 2.2 は、 前記の図 2.1 のHMMがラベル系列$aab$を出力する例に適応した例である。 このように出力ラベル系列が対応する時間経過を横軸にして、各状態を縦 に並べて状態遷移を示した図で考えると理解しやすい。 $\alpha_t (j)$はトレリス上の左上（初期状態） から右下（最終状態）に向かって順次求まる。 この方法での計算量はO($N^2T$)である。

また、 $P(a,a,b \mid \lambda) = \alpha_3 (3) = 0.06552$ となる。

図 2.2: トレリス上の$\alpha _t(i)$の計算