Forwardアルゴリズム(トレリス法)

時刻$t$ の時に $o_1,o_2,...,o_t$ という観測系列を出力して，状態$j$ にいる 確率を式(23)のように定義する．

$$\alpha_t (j) = P(o_1,o_2,...,o_t,s_t = j \mid \lambda)$$ (23)

$P(O \mid \lambda)$ は $\alpha_t (j)$ の漸化式を，式(24)のように計算することによっ て求めることができる．

$$\alpha (i,t) = \left\{ \begin{array}{ll} \log \pi_{i} & (t = 0) \... ... \alpha (j,t-1) a_{ji} b_{ji}(y_t) & (t = 1, 2, \cdots ,T ) \end{array} \right.$$ (24)

そして，最後に式(25)を求めればよい．

$$P(y \vert M) = \sum_{i, s_i \in F} \alpha (i,T)$$ (25)

このアルゴリズムでは，直前のフレームにおける確率 $\alpha_{t-1} (i)$ から $\alpha_t (j)$ $1 \leq j \leq N)$ を求める。

図4は，前記の図2のHMMがラベル系列$abb$ を出力する例に適応した例で ある.状態の中の数字は状態確率であり，矢印の横の数字は，状態遷移確率とラベルの出力確率である．

状態s1の１フレーム目を例にとれば，状態確率が0.42であり，図4より，s1からs1に遷移する確率は0.6であり，s1からs2に遷移する確率が0.4となる.シンボルbを出力すると決めているのでシンボルbを出力する確率は0.3である. よって，２フレーム目のs1とs2の状態確率はそれぞれ式(26)，式(27)のように計算できる.

$$s1: 0.42*0.6*0.3=0.0756$$ (26)

$$s2: 0.42*0.4*0.3 + 0.28*0.2*0.6=0.0840$$ (27)

このように出力ラベル系列が対応する時間経過を横軸にして，各状態を縦に並べ て状態遷移を示した図で考えると理解しやすい． $\alpha_t (j)$ は，トレリス上の左上（初期状態）から右下（最終状態）に向かっ て順次求まる[6].

これを対数で計算するアルゴリズムを，ここではForwardアルゴリズムと呼ぶ．

図: トレリス上の $\alpha _t (i)$ の計算