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HMM(隠れマルコフモデル)

HMMとは,Hidden Markov Model(隠れマルコフモデル)のことであり,出力シンボルに よって一意に状態遷移先が定まらないという非決定状態オートマトンとして定義 されている.HMMには,ある状態から全ての状態に遷移出来るErgodicモデルや, 左から右へと状態遷移するleft to rightモデル等がある.

2にHMM(left to right)の例を示す.

図: left-to-rightモデルの例
\resizebox{10cm}{!}{\includegraphics{hmm_rec02.eps}}
例のHMMは3状態で構成され,出力は有限個のシンボルaとbの2種類である.最終状態を$ s_3 $ とし,初期状態確率の集合 $ \pi $ を式(9)とする.

\begin{displaymath}\pi = \left(%
\begin{array}{ccc} 1.0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)%
\end{displaymath} (9)

状態遷移確率の集合 $ A $ は式(10)であり,図では[]上部の数字で示される.

\begin{displaymath}A = \left(%
\begin{array}{ccc} 0.6 & 0.4 & 0.0\\ 0.0 & 0.2 & 0.8\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%
\end{displaymath} (10)

シンボルaの出力確率の集合 $ B_a $ は式(11)であり,図では[]内の上段の数字で示される.

\begin{displaymath}B_a = \left(%
\begin{array}{ccc} 0.3 & 0.3 & 0.0\\ 0.0 & 0.7 & 0.7\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%
\end{displaymath} (11)

シンボルbの出力確率の集合 $ B_b $ は式(12)であり,図では[]内の下段の数字で示される.

\begin{displaymath}B_b = \left(%
\begin{array}{ccc} 0.4 & 0.4 & 0.0\\ 0.0 & 0.6 & 0.6\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%
\end{displaymath} (12)

状態$ s_1 $ を例にとれば,状態 $ s_1 $ から $ s_2 $ の遷移は0.7の確率で行われ,遷移の際にaを出力する確率は1.0であり,bを出力する確率は0.0である.

例のHMMの出力シンボルが''abb''である場合,可能な状態遷移系列は $ s_{1} s_{1} s_{2} s_{3} $ $ s_{1} s_{2} s_{2} s_{3} $ の2つで, それぞれの確率は式(13),式(14)のようにして求めることができる.

$\displaystyle 0.6*0.7*0.4*0.3*0.8*0.6=0.024192$ (13)


$\displaystyle 0.4*0.7*0.2*0.6*0.8*0.6=0.016128$ (14)

よって,このHMMが''abb''を出力する確率は式(15)のようになる.

$\displaystyle 0.024192+0.016128=0.040320$ (15)



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平成24年3月20日