HMM(隠れマルコフモデル)

HMMとは，Hidden Markov Model(隠れマルコフモデル)のことであり，出力シンボルに よって一意に状態遷移先が定まらないという非決定状態オートマトンとして定義 されている．HMMには，ある状態から全ての状態に遷移出来るErgodicモデルや， 左から右へと状態遷移するleft to rightモデル等がある．

図2にHMM(left to right)の例を示す．

図: left-to-rightモデルの例

例のHMMは3状態で構成され，出力は有限個のシンボルaとbの2種類である．最終状態を$s_3$ とし，初期状態確率の集合 $\pi$ を式(9)とする．

$$\pi = \left(% \begin{array}{ccc} 1.0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)%$$ (9)

状態遷移確率の集合 $A$ は式(10)であり，図では[]上部の数字で示される．

$$A = \left(% \begin{array}{ccc} 0.6 & 0.4 & 0.0\\ 0.0 & 0.2 & 0.8\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (10)

シンボルaの出力確率の集合 $B_a$ は式(11)であり，図では[]内の上段の数字で示される．

$$B_a = \left(% \begin{array}{ccc} 0.3 & 0.3 & 0.0\\ 0.0 & 0.7 & 0.7\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (11)

シンボルbの出力確率の集合 $B_b$ は式(12)であり，図では[]内の下段の数字で示される．

$$B_b = \left(% \begin{array}{ccc} 0.4 & 0.4 & 0.0\\ 0.0 & 0.6 & 0.6\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (12)

状態$s_1$ を例にとれば，状態 $s_1$ から $s_2$ の遷移は0.7の確率で行われ，遷移の際にaを出力する確率は1.0であり，bを出力する確率は0.0である．

例のHMMの出力シンボルが''abb''である場合，可能な状態遷移系列は $s_{1} s_{1} s_{2} s_{3}$ と $s_{1} s_{2} s_{2} s_{3}$ の2つで， それぞれの確率は式(13)，式(14)のようにして求めることができる．

$$0.6*0.7*0.4*0.3*0.8*0.6=0.024192$$ (13)

$$0.4*0.7*0.2*0.6*0.8*0.6=0.016128$$ (14)

よって，このHMMが''abb''を出力する確率は式(15)のようになる．

$$0.024192+0.016128=0.040320$$ (15)