$\Gamma_t (i,j)$ の計算

Baum-Welch 学習のパラメータの再推定にはまず始めに $\Gamma_t (i,j)$ の計算 をおこなう．これは，時刻$t$ において$i$ から$j$ に遷移する確率である．この 計算がBaum-Welchアルゴリズムの基本になる．この値は， ForwardとBackword の値を利用して計算する． $\Gamma_t (i,j)$ の計算は，期待値ステップにな る．

$$\Gamma_t (i,j)= \frac {\alpha_t (i) a_{i,j} b_i (O_t) \beta_{t+1} (j)} {likelihood}$$

$$likelihood = 尤度 = \alpha_4 (3)$$

各 $\Gamma_t (i,j)$ の計算式を以下に示す．

$\Gamma_0 (0,0) = \frac {\alpha_0 (0) a_{0,0} b_0 (O_0) \beta_{1} (0)} {likelih... ...cm} = \frac {1.0 \times 0.7 \times 0.7 \times 0.018144} {0.01348704} = 0.65919$

$\Gamma_0 (0,1) = \frac {\alpha_0 (0) a_{0,1} b_0 (O_0) \beta_{1} (1)} {likelih... ...cm} = \frac {1.0 \times 0.3 \times 0.7 \times 0.021888} {0.01348704} = 0.34081$

$\Gamma_1 (0,1) = \frac {\alpha_1 (0) a_{0,1} b_0 (O_1) \beta_{2} (1)} {likelih... ...4cm} = \frac {0.49 \times 0.3 \times 0.7 \times 0.0864} {0.01348704} = 0.65919$

$\Gamma_1 (1,1) = \frac {\alpha_1 (1) a_{1,1} b_1 (O_1) \beta_{2} (1)} {likelih... ...4cm} = \frac {0.21 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.0864} {0.01348704} = 0.32287$

$\Gamma_1 (1,2) = \frac {\alpha_1 (1) a_{1,2} b_1 (O_1) \beta_{2} (2)} {likelih... ...4cm} = \frac {0.21 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.0072} {0.01348704} = 0.01794$

$\Gamma_2 (1,2) = \frac {\alpha_2 (1) a_{1,2} b_1 (O_2) \beta_{3} (2)} {likelih... ...4cm} = \frac {0.1533 \times 0.4 \times 0.3 \times 0.72} {0.01348704} = 0.98206$

$\Gamma_2 (2,2) = \frac {\alpha_2 (2) a_{2,2} b_2 (O_2) \beta_{3} (2)} {likelih... ...4cm} = \frac {0.0336 \times 0.1 \times 0.1 \times 0.72} {0.01348704} = 0.01794$

$\Gamma_3 (2,3) = \frac {\alpha_3 (2) a_{2,3} b_2 (O_3) \beta_{4} (3)} {likelih... ...{1.4cm} = \frac {0.018732 \times 0.9 \times 0.8 \times 1.0} {0.01348704} = 1.0$

なお，以下のように正規化されることに注意してもらいたい．

$\Gamma_0 (0,0) +\Gamma_0 (0,1) = 1.0$

$\Gamma_1 (0,1) +\Gamma_1 (1,1) +\Gamma_1 (1,2) = 1.0$

$\Gamma_2 (1,2) +\Gamma_2 (2,2) = 1.0$

$\Gamma_3 (2,3) = 1.0$

$\Gamma_t (i,j)$ は，時刻$t$ において状態$i$ から状態$j$ に遷移する確率であ る．そのためグリッドからグリッドの遷移において， $\Gamma_t (i,j)$ の値を示す と，Baum-Welchアルゴリズムは直感的に理解しやすい． 図 11に $\Gamma_t (i,j)$ の値を示す．

図: $\Gamma_t (i,j)$ の表現