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・モデル1

(2.1)式は以下の式に分解することができる.$ m$ はフランス語文の長 さ, $ a_1^{j-1}$ はフランス語文における, 1番目から$ j-1$ 番目までのアラ イメント, $ f_1^{j-1}$ はフランス語文における, 1番目から$ j-1$ 番目まで 単語を表している.
$\displaystyle P(F, a\vert E) = P(m\vert E) \prod_{j=1}^m P(a_j\vert a_1^{j-1}, f_1^{j-1}, m, E)
P(f_j\vert a_1^j, f_1^{j-1}, m, E)$     (2.2)

(2.2)式ではとても複雑であるので計算が困難である.そこで, モデル1 では以下の仮定により, パラメータの簡略化を行う.

パラメータの簡略化を行うことで, $ P(F, a\vert E)$ $ P(F,E)$ は以下の式で表 される.


$\displaystyle P(F, a\vert E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$ (2.3)
$\displaystyle P(F\vert E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \sum^l_{a_1=0} \cdots
\sum^l_{a_m=0} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$ (2.4)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} \sum^l_{i=0} t(f_j\vert e_{a_j})$ (2.5)

モデル1では翻訳確率$ t(f\vert e)$ の初期値が0以外の場合, Expectation-Maximization(EM)アルゴリズムを繰り返し行うことで得られる期待 値を用いて最適解を推定する.EMアルゴリズムの手順を以下に示す.

手順1
翻訳確率$ t(f\vert e)$ の初期値を設定する.

手順2
仏英対訳対 $ (F^{(s)}, E^{(s)})$ (但し, $ 1\leq s \leq S$ )において, 仏単語$ f$ と英単語$ e$ が対応する回数の期待値を以下の式により計算する.
$\displaystyle c(f\vert e;F,E) = \frac{t(f\vert e)}{t(f\vert e_0) + \cdots + t(f\vert e_l)} \sum^m_{j=1}
\delta(f, f_j) \sum^l_{i=0} \delta(e, e_i)$     (2.6)

$ \delta(f, f_j)$ はフランス語文$ F$ 中で仏単語 $ f$ が出現する回数, $ \delta(e, e_i)$ は英語文$ E$ 中で英単語$ e$ が出現する回数を表している.

手順3
英語文$ E^{(s)}$ の中で1回以上出現する英単語$ e$ に対して, 翻訳確率$ t(f\vert e)$ を計算する.

  1. 定数$ \lambda_e$ を以下の式により計算する.
    $\displaystyle \lambda_e = \sum_f \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$     (2.7)

  2. (2.7)式より求めた$ \lambda_e$ を用いて, 翻訳確率$ t(f\vert e)$ を再計算する.
    $\displaystyle t(f\vert e)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda^{-1}_e \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}{\sum_f
\sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}$ (2.8)

手順4
翻訳確率$ t(f\vert e)$ が収束するまで手順2と手順3を繰り返す.


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2020-03-11