モデル1

(2.1)式は以下の式に分解することができる．はフランス語文の長 さ，はフランス語文における，1番目から番目までのアライメント，はフランス語文における，1番目から番目まで単語を表している．

$$P(F, a\vert E) = P(m\vert E) \prod_{j=1}^m P(a_j\vert a_1^{j-1}, f_1^{j-1}, m, E) P(f_j\vert a_1^j, f_1^{j-1}, m, E)$$ (2.2)

(2.2)式ではとても複雑であるので計算が困難である．そこで，モデル1 では以下の仮定により，パラメータの簡略化を行う．

• フランス語文の長さの確率は, に依存しない
  

  $$P(m\vert E) = \epsilon$$

  
  

• アライメントの確率は英語文の長さに依存する
  

  $$P(a_j\vert a_1^{j-1}, f_1^{j-1}, m, E) = (l + 1)^{-1}$$

  
  

• フランス語の翻訳確率 は，仏単語に対応する英単語に依存する
  

  $$P(f_j\vert a_1^j, f_1^{j-1}, m, e) = t(f_j\vert e_{a_j})$$

  
  

パラメータの簡略化を行うことで，とは以下の式で表 される．

$$P(F, a\vert E) = \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (2.3)

$$P(F\vert E) = \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \sum^l_{a_1=0} \cdots \sum^l_{a_m=0} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (2.4)

$$= \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} \sum^l_{i=0} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (2.5)

モデル1では翻訳確率の初期値が0以外の場合， Expectation-Maximization(EM)アルゴリズムを繰り返し行うことで得られる期待 値を用いて最適解を推定する．EMアルゴリズムの手順を以下に示す．

手順1

翻訳確率の初期値を設定する．

手順2

仏英対訳対 (但し， )において，仏単語と英単語が対応する回数の期待値を以下の式により計算する．

$$c(f\vert e;F,E) = \frac{t(f\vert e)}{t(f\vert e_0) + \cdots + t(f\vert e_l)} \sum^m_{j=1} \delta(f, f_j) \sum^l_{i=0} \delta(e, e_i)$$ (2.6)

はフランス語文中で仏単語 が出現する回数， は英語文中で英単語 が出現する回数を表している．

手順3

英語文の中で1回以上出現する英単語に対して，翻訳確率を計算する．

1. 定数を以下の式により計算する．
   

   $$\lambda_e = \sum_f \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$$ (2.7)

   
   

2. (2.7)式より求めたを用いて，翻訳確率を再計算する．
   

   $$t(f\vert e) = \lambda^{-1}_e \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$$

   $$= \frac{\sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}{\sum_f \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}$$ (2.8)

   
   

手順4

翻訳確率が収束するまで手順2と手順3を繰り返す．