モデル1

(3.3)式は以下の式に分解することができる．はフランス語文の長 さ，はフランス語文における，1番目から番目までのアライメン ト，はフランス語文における，1番目から番目まで単語 を表している．

$$P(F, a\vert E) = P(m\vert E) \prod_{j=1}^m P(a_j\vert a_1^{j-1}, f_1^{j-1}, m, E) P(f_j\vert a_1^j, f_1^{j-1}, m, E)$$ (3.4)

(3.4)式ではとても複雑であるので計算が困難である．そこで，モデル1 では以下の仮定により，パラメータの簡略化を行う．

• フランス語文の長さの確率は, に依存しない

  
  

  $$P(m\vert E) = \epsilon$$

  
  

• アライメントの確率は英語文の長さに依存する
  

  $$P(a_j\vert a_1^{j-1}, f_1^{j-1}, m, E) = (l + 1)^{-1}$$

  
  

• フランス語の翻訳確率 は，仏単語に対応する英 単語に依存する

  
  

  $$P(f_j\vert a_1^j, f_1^{j-1}, m, e) = t(f_j\vert e_{a_j})$$

  
  

パラメータの簡略化を行うことで，とは以下の式で表 される．

$$P(F, a\vert E) = \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (3.5)

$$P(F\vert E) = \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \sum^l_{a_1=0} \cdots \sum^l_{a_m=0} \prod^m_{j=1} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (3.6)

$$= \frac{\epsilon}{(l+1)^m} \prod^m_{j=1} \sum^l_{i=0} t(f_j\vert e_{a_j})$$ (3.7)

モデル1では翻訳確率の初期値が0以外の場合， Expectation-Maximization(EM)アルゴリズムを繰り返し行うことで得られる期待 値を用いて最適解を推定する．EMアルゴリズムの手順を以下に示す．

手順1

翻訳確率の初期値を設定する．

手順2

仏英対訳対 (但し， )において，仏単語と英単語が対応す る回数の期待値を以下の式により計算する．

$$c(f\vert e;F,E) = \frac{t(f\vert e)}{t(f\vert e_0) + \cdots + t(f\vert e_l)} \sum^m_{j=1} \delta(f, f_j) \sum^l_{i=0} \delta(e, e_i)$$ (3.8)

はフランス語文中で仏単語 が出現する回数， は英語文中で英単語 が出現する回数を表している．

手順3

英語文の中で1回以上出現する英単語 に対して，翻訳確率を計算する．

1. 定数を以下の式により計算する．

   
   

   $$\lambda_e = \sum_f \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$$ (3.9)

   
   

2. (3.9)式より求めたを用いて，翻訳確率を 再計算する．

   
   

   $$t(f\vert e) = \lambda^{-1}_e \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})$$

   $$= \frac{\sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}{\sum_f \sum^S_{s=1} c(f\vert e; F^{(s)}, E^{(s)})}$$ (3.10)

   
   

手順4

翻訳確率が収束するまで手順2と手順3を繰り返す．