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出現確率が混合ガウス分布で表される場合

混合ガウス分布の場の出現確率は,次のように表される(ガウス分布の数をMとする).

$\displaystyle b_{ij} (y) = \sum_{m=1}^M \lambda_{ijm} b_{ijm} (y)$ (44)

ここで

$\displaystyle \sum_{m=1}^M \lambda_{ijm} = 1$ (45)

$\displaystyle \int b_{ijm}(y) dy = 1$ (46)

である.混合ガウス分布の出現確率は,単一ガウス分布の場合と同様に次式で表せる.

$\displaystyle \hat{\lambda_{ijm}} = \frac{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t,m)}{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t)}$ (47)

$\displaystyle \hat{\mu_{ijm}} = \frac{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t, m) y_t}{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t,m)}$ (48)

$\displaystyle \hat{\Sigma_{ijm}} = \frac{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t,m) ( y_t - \mu_{ijm} ) {( y_t - \mu_{ijm} )}^t}{\sum_{t=1}^T \gamma (i,j,t,m)}$ (49)

ただし,

$\displaystyle \gamma (i,j,m,t) = \alpha (i, t-1) a_ij \lambda_{ijm} b_{ijm} (y_t) \beta (j,t)$ (50)

で,$ m$ 番目の分布関数の遷移 $ q_i \to q_j$ の確率が表され,値が収束するまで繰り返す.



平成20年5月16日