Forwardアルゴリズム

時刻$t$の時に $o_1,o_2,...,o_t$という観測系列を出力して，状態$j$にいる 確率を次のように定義する。

$$\alpha_t (j) = P(o_1,o_2,...,o_t,s_t = j \mid \lambda)$$ (28)

$P(O \mid \lambda)$は$\alpha_t (j)$の漸化式を次のように計算することによっ て求めることができる。

1. 初期化

   全ての状態 $j(1 \leq j \leq N)$に対して，

   
   

   $$\alpha_{0} (j) = \pi_{j}$$ (29)

   
   

   とする．

2. 導出過程

   時間軸 $(t = 1, \cdots ,T)$に沿って，全ての状態 $j(1 \leq j \leq N)$に対し， $\alpha_t (j)$を次のように計算する．
   

   $$\alpha_t (j) = \sum_{i=1}^N \alpha_{t-1}(i) a_{ij} b_{ij}(o_t)$$ (30)

   
   

3. 結果

   
   

   $$P(O \mid \lambda) = \sum_{i=1}^N \alpha_{T}(i)$$ (31)

   
   

このアルゴリズムでは，直前のフレームにおける確率 $\alpha_{t-1} (i)$ から $\alpha_t (j)$ $1 \leq j \leq N)$を求めている。

図 3 は，前記の図1 のHMMがラベル系列$aab$を出力する例に適応した例で ある． このように出力ラベル系列が対応する時間経過を横軸にして，各状態を縦に並べ て状態遷移を示した図で考えると理解しやすい． $\alpha_t (j)$はトレリス上の左上（初期状態）から右下（最終状態）に向かっ て順次求まる．この方法での計算量はO($N^2T$)である。

また， $P(a,a,b \mid \lambda) = \alpha_3 (3) = 0.1176$ となる．

Forwardアルゴリズムは，本実験において認識に使用されている．

図 3: トレリス上の$\alpha _t (i)$の計算