スムージング

$N$-gramの確率は，最尤推定法を用いて計算することが可能である．単語列 $w_{i-2}w_{i-1}w_{i}$を$w_{i}^{i-2}$，単語列 $w_{i-2}w_{i-1}w_{i}$の確率を $N(w_{i-2}^{i})$とすると，(2.19)から3-gramの確率を計算することが可能である．

$$p(w_{i}\vert w_{i-2}^{i})= \frac{N(w_{i-2}^{i})}{N(w_{i-2}^{i-1})}$$ (2.19)

しかし，入力文において学習データに存在しない単語列がある場合，その単語列の確率は0となり，翻訳精度が悪化する傾向となる．そこで，確率が0となるのを防ぐために，大きい確率はより小さく，小さい確率はより大きくし，全体の確率値を平滑化及び近似を行う．これはスムージングという方法であり，代表的にはバックオフスムージングがある．バックオフスムージングは，学習データには出現していない$N$-gram単語列の確率を，$N-1$-gram単語列の確率でスムージングを行う．$N$=3-gramの場合のバックオフスムージングによる確率は以下の式に求められる．

$$P(w_{i}\vert w_{i-1}^{i-2}) =\left\{ \begin{array}{ll} \lambda(w_... ... \ N(w_{n-2}^{n-1}) \\ P(w_{i}\vert w_{i-1}) & other \\ \end{array} \right.$$ (2.20)

$\lambda$はディスカウント係数と呼ばれ，学習データに存在しない$N$-gramに対し，学習データに存在する$N-1$-gramから確率値を求める．$\alpha$は確率の総和を1にするための正規化係数である．$\lambda_{0}$及び$\alpha$は以下に求められる．

$$\lambda_{0}(w_{i-2}^{i}) = \sum_{w_{i}}\lambda(w_{i-2}^{i})p(w_{i}\vert w_{i-2}^{i-1})$$ (2.21)

$$\alpha = (1 - \sum_{N(w_{i-2}^{i})>0}P(w_{i}\vert w_{i-1}))^{-1}$$ (2.22)

ディスカウント系数を求める方法は多く，ukndiscount(Unmodified Kneser-Ney discounting)やkndiscount(Chen and Goodman's modified Kneser-Ney discounting)がある．

ukndiscountとkndiscountの違いは，一つまたは二つの単語を考慮してスムージングを行う(undiscount)か，一つ，二つまたは三つの$N$-gram単語列を考慮してスムージングを行う(kndiscount)かである．