Model1

2.4式は2.5式のように分解することができる．mは仏語文の長さ， 18#18 は仏語文の単語位置1からj - 1までのアライメントとし， 19#19 は仏語文の位置1からj - 1までを表すとする．

20#20 (2.5)

このままでは複雑すぎるため，計算が困難である．そこで，model1では以下の仮定を置き，簡略化する．

• 仏語文の長さの確率はm，eに依存しないとし，定数で置く．
  21#21
• 単語の対応付けの確率は全て一定とし，英語文の長さlにのみ依存する．
  22#22
• 仏単語は前後の単語の出現には依存せず，自身に対応付けられる英単語のみに依存する．
  23#23

以上の仮定を用い，2.5式は2.6式のように簡略化される．また，model1において，確率の積の総和を総和の積に置き換えることが可能であり，2.8式のように置くことができる．

24#24 3#3 25#25 (2.6)

26#26 3#3 27#27 (2.7)

3#3 28#28 (2.8)

ラグランジェの未定計数法を用いて，制約 29#29 のもとで 30#30 を最大化する問題を解くと，学習に用いた対訳文において，eとfが対応付けられる回数の期待値を2.9式のように求めることができる．

31#31 (2.9)

32#32 は仏文f中に仏単語fが出現する回数， 33#33 は英文e中に英単語eが出現する回数を表す．このことより，次のようなEMアルゴリズムによって確率を推定することができる．

1. 34#34 に適用な初期値を設定する．
2. 対訳ペアの集合 35#35 において，eとfが対応付けられる回数の期待値を2.9式によって求める．
3. e中に1回以上出現したeに対し， 36#36 を2.10式で再推定する．
   

   37#37 (2.10)

   
   
4. 2と3を 36#36 が収束するまで繰り返す．

EMアルゴリズムで得られる解は最適解となる保証はない．しかし，Model1において，極大値は1つしかなく，初期値に依らず最適解に収束する．