フーリェ変換

フーリェ変換とは，時間や空間座標が横軸を取る関数を，周波数が横軸を取る関数 に変換する事ができ，よって，入力関数をその周波数成分の連続スペクトルに分 解することができる．

従って，理工学分野で広く利用されていて複素フーリェ係数 をスペクトルという．

具体的には，複素フーリェ係数を分光法におけるスペクトル解析やX線散乱実験 などの解析，音声のデータの解析に利用されている．

複素フーリェ係数を$c_n$ ，周期T = 2L(L $>$ 0)の周期関数をf(x))とする．関数 f(x)を複素フーリェ級数に展開すると，次の(1)，(2)式のようになる。

$$f(x) = \sum^{\infty}_{n = -\infty} c_n e^{\frac{in\pi x}{L}}$$ (1)

$$c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(y) e^{-\frac{in\pi x}{L}}dy$$ (2)

(2)式に(1)式を代入すると，次のようになる．

$$f(x) = \sum^{\infty}_{n = -\infty} [\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L}f(y) e^{-\frac{in\pi x}{L}}dy]e^{\frac{in\pi x}{L}}$$ (3)

しかし，Lを無限大に近づけるために，各周波数を$\omega_n$ とすると，

$\omega= \frac{n\pi}{L}$ ， $\delta\omega = \omega_n - \omega_{n-1} = \frac{\pi}{L}$

と置くと，(3)式は次のようになる．

$$f(x) = \sum^{\infty}_{n = -\infty} [\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L}f(y) e^{-\frac{in\pi x}{L}}dy]e^{i\omega_n x}\Delta\omega$$ (4)

ここで，Lを無限大に近づけると，(5)式のリーマン積分の定義より，和が積分に 変化する．

$$\lim_ {\Delta\omega \to 0}\sum^{\infty}_{n = -\infty} F(\omega_n)\Delta\omega = \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega)d\omega$$ (5)

従って，次の式を得ることができる．

$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} d\omega \int^{\infty}_{-\infty}f(y)e^{-i\omega(y-x)}dy$$ (6)