(1)特徴空間と構造規則の次元

前章で示した構造規則の記述方法に従えば，学習用事例${S_2}$も構造規則と同じ (1)式の形式で表現されるから，${S_2}$の各要素は，それ自体，構造規則と見なすこ とができる．事例からのこのような規則生成では，帰納的推論の方法(長尾 1988)の適用が考えられる．

そこで，式(1)の構造定義部で指定された$N$個の変数に対して，各変数を基底 とする$N$次のベクトル空間(「特徴空間」とも言う)を考えると，各事例は，特 徴空間上の点に対応するから，構造規則の生成は，この特徴空間内で，同一のク ラスに属す部分空間を切り出す問題となる．

この種の問題は，特徴空間が線形である場合，クラスタ分析もしくはクラスタ リングの問題(安西 1989;浅野，江島 1996;Witten & Frank 1999)としても良 く知られており，多変量解析，情報検索などの分野で研究されている．しかし， 式(1)の構造定義部で与えられる各基底はいずれも非線形である ため，計算は 簡単でない．基底がis-a関係で結ばれた木構造となる場合については， (Haussler 1988)の方法があるが，学習事例が多い場合は，適用困難である．ま た，事例数の大きい問題への適用を狙った方法として，意味属性の木構造をエン コーディングした後，既存の計算プログラムC4.5を使用する方法など(アルモア リムほか 1997)もあるが，学習事例，基底数，(生成される)規則数が共に大 きい場合は，やはり計算困難である．そこで，本論文では，変数の数に着目して 構造規則を次元に分類し，意味属性間の包含関係に着目して規則を生成する方法 を考える．

さて，特徴空間上，同一のクラスに属す点の集合に対して構造規則は定義される． すなわち，構造規則は，一般に，$N$次空間上の点，もしくは，特定の領域に対応 する．これに対して，$N$個の変数のうち$K$個の変数がオールマイティ「$*$」で表 現された規則は，$K$次元だけ縮退された規則となり，$N-K$次元の空間内のベク トルで表現されるが，$N$次元空間で見れば，$N-K$次元の立方体に対応する規則 であり，この立方体内に属す事例に適用される．

例えば，三次元の構造規則(${A_1}$, ${A_2}$, ${A_3}$：$C$)において，${A_1}$, ${A_2}$, ${A_3}$の何れ かを「$*$」で置き換えた規則(例えば，($*$，${A_2}$, ${A_3}$：$C$))は，三次元空間 上の線に対応する規則となり，2変数を「$*$」で置き換えた規則(例えば，($*$， ${A_2}$，$*$：$C$))は，三次元空間上の面に対応する規則となる．

以上から，構造規則をそれが定義される特性空間の次元に従って，一次元規則か ら$N$次元規則までの$N$種類に分類する．