連続分布型HMM(Continuous HMM)

出現するスペクトルパターンを連続値として表す分布モデルである．出現 確率を表す方法としては単一ガウス分布や混合ガウス分布が用いられる． パラメータの自由度を減らすために無相関ガウス分布を用いることが多い．

出現確率$b_ij(o_t)$が混合ガウス分布に従う場合は，

• $M_{ij} ... 状態iから状態jの遷移における混合数$
• $C_{ijm} ... 状態iから状態jの遷移における混合数のときの重み$
• ${\cal N} (; \mu , \Sigma) ... 平均ベクトル \mu , 共分散行列 \Sigma をもつ混合ガウス分布$

とすると，以下のように計算される．

$$b_{ij}(o_t) = \sum_{m=1}^{M_{ij}} C_{ijm} {\cal N} (o_t ; \mu_{ijm} , \Sigma_{ijm})$$ (4)

${\cal N} (; \mu , \Sigma)$ は

• $n ... 観測行列の次元数$
• ${( O - \mu )}^t ... ( O - \mu ) の天地行列$
• $\mid \Sigma \mid ... \Sigma の固有値$
• ${ \Sigma }^{-1} ... \Sigma の逆行列$

とすると，以下の式で表現される．

$${\cal N} (O ; \mu , \Sigma) = \frac{1}{\sqrt{{( 2 \pi )}^n}... ...id} \exp (- \frac{1}{2} {( O - \mu )}^t \Sigma^{-1} (O - \mu))$$ (5)