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HMMの例

音声認識に用いられるHMMは,left-to-rightモデルと呼ばれるものである.left-to-rightモデルの例を図 1 に示す.

図 1: left-to-rightモデルの例
\resizebox{8cm}{!}{\includegraphics{hmm_exp.eps}}

例のHMMは3状態で構成され,出力は有限個のシンボルaとbの2種類である.最終状態を$ s_3 $とし,初期状態確率の集合 $ \pi $ を以下とする.


\begin{displaymath}
\pi = \left(%
\begin{array}{ccc}
1.0 & 0 & 0\\
\end{array} \right)%
\end{displaymath} (12)

状態遷移確率の集合 $ A $ は以下であり,図では[]上部の数字で示される.

\begin{displaymath}
A = \left(%
\begin{array}{ccc}
0.3 & 0.7 & 0.0\\
0.0 & 0.2 & 0.8\\
0.0 & 0.0 & 0.0\\
\end{array} \right)%
\end{displaymath} (13)

シンボルaの出力確率の集合 $ B_a $ は以下であり,図では[]内の上段の数字で示される.


\begin{displaymath}
B_a = \left(%
\begin{array}{ccc}
0.5 & 1.0 & 0.0\\
0.0 & 0.3 & 0.0\\
0.0 & 0.0 & 0.0\\
\end{array} \right)%
\end{displaymath} (14)

シンボルbの出力確率の集合 $ B_b $ は以下であり,図では[]内の下段の数字で示される.

\begin{displaymath}
B_b = \left(%
\begin{array}{ccc}
0.5 & 0.0 & 0.0\\
0.0 & 0.7 & 1.0\\
0.0 & 0.0 & 0.0\\
\end{array} \right)%
\end{displaymath} (15)

状態$ s_1 $を例にとれば,状態 $ s_1 $ から $ s_2 $の遷移は0.7の確率で行われ,遷移の際にaを出力する確率は1.0であり,bを出力する確率は0.0である.

例のHMMの出力シンボルが''aab''である場合,可能な状態遷移系列は $ s_{1} s_{1} s_{2} s_{3} $ $ s_{1} s_{2} s_{2} s_{3} $の2つで,それぞれの確率は以下のようにして求めることができる.


\begin{displaymath}
0.3*0.5*0.7*1.0*0.8*1.0=0.084
\end{displaymath} (16)


\begin{displaymath}
0.7*1.0*0.2*0.3*0.8*1.0=0.0336
\end{displaymath} (17)

よって,このHMMが''aab''を出力する確率は以下のようになる.

\begin{displaymath}
0.084+0.0336=0.1176
\end{displaymath} (18)


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平成19年5月7日