HMMの例

音声認識に用いられるHMMは,left-to-rightモデルと呼ばれるものである.left-to-rightモデルの例を図 1 に示す.

図 1: left-to-rightモデルの例

例のHMMは3状態で構成され,出力は有限個のシンボルaとbの2種類である.最終状態を$s_3$とし,初期状態確率の集合 $\pi$ を以下とする.

$$\pi = \left(% \begin{array}{ccc} 1.0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)%$$ (17)

状態遷移確率の集合 $A$ は以下であり,図では[]上部の数字で示される.

$$A = \left(% \begin{array}{ccc} 0.3 & 0.7 & 0.0\\ 0.0 & 0.2 & 0.8\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (18)

シンボルaの出力確率の集合 $B_a$ は以下であり,図では[]内の上段の数字で示される.

$$B_a = \left(% \begin{array}{ccc} 0.5 & 1.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.3 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (19)

シンボルbの出力確率の集合 $B_b$ は以下であり,図では[]内の下段の数字で示される.

$$B_b = \left(% \begin{array}{ccc} 0.5 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.7 & 1.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0\\ \end{array} \right)%$$ (20)

状態$s_1$を例にとれば,状態 $s_1$ から $s_2$の遷移は0.7の確率で行われ,遷移の際にaを出力する確率は1.0であり,bを出力する確率は0.0である.

例のHMMの出力シンボルが''aab''である場合,可能な状態遷移系列は $s_{1} s_{1} s_{2} s_{3}$と $s_{1} s_{2} s_{2} s_{3}$の2つで,それぞれの確率は以下のようにして求めることができる.

$$0.3*0.5*0.7*1.0*0.8*1.0=0.084$$ (21)

$$0.7*1.0*0.2*0.3*0.8*1.0=0.0336$$ (22)

よって,このHMMが''aab''を出力する確率は以下のようになる.

$$0.084+0.0336=0.1176$$ (23)